Exponentiell Gewichtete Gleitende Mittlere Vorteile

GARCH und EWMA 21. Mai 2010 von David Harper, CFA, FRM, CIPM AIM: Vergleich, Kontrast und Berechnung parametrischer und nicht-parametrischer Ansätze zur Schätzung der bedingten Volatilität 8230 Einschließlich: GARCH-ANSATZ Einschließlich: EXPONENTIALE SMOOTHING (EWMA) Exponentielle Glättung (bedingte parametrische) Moderne Methoden legen mehr Gewicht auf aktuelle Informationen. Sowohl EWMA als auch GARCH legen mehr Wert auf aktuelle Informationen. Da EWMA ein Spezialfall von GARCH ist, verwenden sowohl EWMA als auch GARCH exponentielle Glättung. GARCH (p, q) und insbesondere GARCH (1, 1) GARCH (p, q) ist ein allgemeines autoregressives bedingtes heteroskedastisches Modell. Zu den wichtigsten Aspekten gehören: Autoregressive (AR). Tomorrow8217s Varianz (oder Volatilität) ist eine regressive Funktion von heute8217s variance8212it regresses auf sich Bedingte (C). Tomorrow8217s Varianz hängt8212is bedingt an8212die neueste Varianz. Eine bedingungslose Varianz hängt nicht von der heutigen Heteroskedastik (H) ab. Abweichungen sind nicht konstant, sie Fluß im Laufe der Zeit GARCH regresses auf 8220lagged8221 oder historische Begriffe. Die verzögerten Terme sind entweder Varianz - oder quadratische Renditen. Das generische GARCH (p, q) - Modell regressiert auf (p) quadratischen Renditen und (q) Varianzen. Daher rückt GARCH (1, 1) 8220lags8221 oder regressiert auf der quadrierten Rückkehr der letzten Periode8217s (d. h. nur 1 zurück) und der letzten Periode8217s-Varianz (d. h. nur 1 Varianz). GARCH (1, 1), die durch die folgende Gleichung gegeben ist. Mit griechischen Parametern kann dieselbe GARCH-Formel (1, 1) angegeben werden: Hull schreibt dieselbe GARCH-Gleichung wie folgt: Der erste Term (gVL) ist wichtig, da VL die Langzeit-Varianz ist. Daher ist (gVL) ein Produkt: es ist die gewichtete langfristige durchschnittliche Varianz. Das GARCH-Modell (1, 1) löst für die bedingte Varianz als Funktion von drei Variablen (vorherige Varianz, frühere Rückkehr2 und Langzeitvarianz): Persistenz ist ein in das GARCH-Modell eingebettetes Merkmal. Tipp: In den obigen Formeln ist die Persistenz (b ​​c) oder (alpha-1 beta). Persistenz bezieht sich darauf, wie schnell (oder langsam) die Varianz zurückkehrt oder 8220decays8221 in Richtung zu seinem langfristigen Durchschnitt. Eine hohe Persistenz entspricht einem langsamen Verfall und einem langsamen Rückgang auf die mittlere8221 niedrige Persistenz entspricht einem schnellen Zerfall und einer schnellen 8220-Rückkehr zum Mittel.8221 Eine Persistenz von 1,0 impliziert keine mittlere Reversion. Eine Beharrlichkeit von weniger als 1,0 bedeutet 8220reversion des Mittelwerts, 8221, wo eine geringere Persistenz eine grßere Reversion des Mittels zur Folge hat. Tip: Wie oben ist die Summe der Gewichte, die der verzögerten Varianz und der verzögerten quadrierten Rendite zugeordnet sind, Persistenz (bc Persistenz). Eine hohe Persistenz (größer als Null, aber kleiner als eins) impliziert eine langsame Reversion auf den Mittelwert. Wenn jedoch die Gewichte, die der verzögerten Varianz und der verzögerten quadratischen Rückkehr zugewiesen sind, größer als eins sind, ist das Modell nicht stationär. Ist (bc) größer als 1 (wenn bc gt 1) ist das Modell nicht stationär und nach Hull instabil. In diesem Fall ist EWMA bevorzugt. Linda Allen sagt über GARCH (1, 1): GARCH ist sowohl 8220compact8221 (d. H. Relativ einfach) als auch bemerkenswert genau. GARCH-Modelle dominieren in der wissenschaftlichen Forschung. Viele Variationen der GARCH-Modell wurden versucht, aber nur wenige haben auf das Original verbessert. Der Nachteil des GARCH-Modells ist seine Nichtlinearität sic Beispiel: Lösung für Langzeitvarianz in GARCH (1,1) Betrachten wir die GARCH (1, 1) - Gleichung unten: Angenommen, der Alpha-Parameter 0.2, der Beta-Parameter 0.7, Und beachten Sie, dass Omega 0,2, aber don8217t Fehler Omega (0,2) für die langfristige Varianz Omega ist das Produkt von Gamma und die langfristige Varianz. Also, wenn Alpha-beta 0,9, dann muss gamma 0,1 sein. Da Omega 0,2 ist, wissen wir, dass die Langzeitvarianz 2,0 (0,2 184 0,1 2,0) betragen muss. GARCH (1,1): Der Notationsunterschied zwischen Hull und Allen EWMA ist ein Spezialfall von GARCH (1,1) und GARCH (1,1) ist ein verallgemeinerter Fall von EWMA. Der herausragende Unterschied ist, dass GARCH den zusätzlichen Begriff für mittlere Reversion enthält und EWMA fehlt eine mittlere Reversion. Wie wir aus GARCH (1,1) zu EWMA gelangen, lassen wir nun eine 0 und (bc) 1, so dass sich die obige Gleichung vereinfacht: Dies ist nun gleichbedeutend mit der Formel für den exponentiell gewichteten gleitenden Durchschnitt (EWMA): In EWMA bestimmt der Lambda-Parameter nun das 8220decay: 8221 ein Lambda, das nahe bei einem (hohen Lambda) liegt, zeigt einen langsamen Abfall. Der RiskMetricsTM-Ansatz RiskMetrics ist eine Markenform des exponentiell gewichteten gleitenden Durch - schnitts (EWMA) - Ansatzes: Das optimale (theoretische) Lambda variiert nach der Assetklasse, aber der insgesamt optimale Parameter, der von RiskMetrics verwendet wird, beträgt 0,94. In der Praxis verwendet RiskMetrics nur einen Zerfallsfaktor für alle Serien: 183 0,94 für tägliche Daten 183 0,97 für monatliche Daten (Monat definiert als 25 Handelstage) Technisch gesehen sind die täglichen und monatlichen Modelle inkonsistent. Allerdings sind sie beide einfach zu bedienen, sie angenähert das Verhalten der tatsächlichen Daten ganz gut, und sie sind robust, misspecification. Hinweis: GARCH (1, 1), EWMA und RiskMetrics sind jeweils parametrisch und rekursiv. (GARCH amp EWMA) Zusammenfassung Tipps: GARCH (1, 1) ist verallgemeinert RiskMetrics und umgekehrt RiskMetrics ist GARCH (1, 1) ist gegeben durch: Die drei Parameter sind Gewichte und müssen daher auf eins addieren: Tipp: Seien Sie vorsichtig mit dem ersten Begriff in der GARCH (1, 1) Gleichung: omega () gamma () (mittlere Langzeitvarianz). Wenn Sie nach der Varianz gefragt werden, müssen Sie eventuell das Gewicht aufteilen, um die durchschnittliche Varianz zu berechnen. Bestimmen Sie, wann und ob ein GARCH - oder EWMA-Modell in der Volatilitätsabschätzung verwendet werden sollte. In der Praxis sind die Varianzraten tendenziell mittlere Umkehrung, daher ist das GARCH (1, 1) - Modell theoretisch überlegen (8220 attraktiver als8221) an das EWMA-Modell. Denken Sie daran, dass8217s der große Unterschied: GARCH fügt den Parameter, der den langfristigen Durchschnitt gewichtet und daher enthält es mittlere Reversion. Tipp: GARCH (1, 1) ist bevorzugt, es sei denn, der erste Parameter ist negativ (was impliziert wird, wenn alpha beta gt 1). In diesem Fall ist GARCH (1,1) instabil und EWMA wird bevorzugt. Erklären Sie, wie die GARCH-Schätzungen Prognosen liefern können, die genauer sind. Der gleitende Durchschnitt berechnet die Varianz auf der Basis eines nachlaufenden Beobachtungsfensters, z. B. Die letzten zehn Tage, die letzten 100 Tage. Es gibt zwei Probleme mit dem gleitenden Durchschnitt (MA): Ghosting-Feature: Volatilitätsschocks (plötzliche Erhöhungen) werden abrupt in die MA-Metrik integriert und dann, wenn das hintere Fenster überschreitet, werden sie plötzlich aus der Berechnung fallen gelassen. Dadurch verschiebt sich die MA-Metrik in Abhängigkeit von der gewählten Fensterlänge. Trendinformationen werden nicht übernommen GARCH-Schätzungen verbessern diese Schwächen auf zweierlei Weise: Neuere Beobachtungen werden mit größeren Gewichten verknüpft. Dieses überwindet das Geisterbild, weil ein Volatilitätsschock sofort die Schätzung beeinflusst, aber sein Einfluss wird allmählich im Laufe der Zeit vergehen. Ein Begriff wird hinzugefügt, um die Umkehrung des Mittels zu berücksichtigen. Erklären Sie, wie Persistenz mit der Reversion des Mittelwerts zusammenhängt. Die GARCH (1, 1) - Gleichung: Persistenz ist gegeben durch: GARCH (1, 1) ist instabil, wenn die Persistenz gt 1. Eine Persistenz von 1,0 gibt keine mittlere Reversion an. Eine geringe Persistenz (z. B. 0,6) zeigt einen schnellen Abfall und eine hohe Reversion gegenüber dem Mittel an. Tipp: GARCH (1, 1) hat drei Gewichte, die drei Faktoren zugeordnet sind. Persistenz ist die Summe der Gewichte, die sowohl der verzögerten Varianz als auch der verzögerten quadrierten Rendite zugeordnet sind. Das andere Gewicht ist der Langzeitvarianz zugeordnet. Wenn P-Persistenz und G-Gewicht einer Langzeitvarianz zugewiesen werden, dann PG 1. Wenn daher P (Persistenz) hoch ist, dann ist G (mittlere Reversion) niedrig: die anhaltende Reihe ist nicht stark, bedeutet sie zurückzukehren, zeigt 8220slow decay8221 in Richtung der bedeuten. Wenn P niedrig ist, dann muss G hoch sein: die widersprüchliche Reihe bedeutet stark rückgängig, zeigt 8220rapid decay8221 zum Mittelwert. Die durchschnittliche, unbedingte Varianz im GARCH (1, 1) - Modell ist gegeben durch: Erläutern Sie, wie EWMA systematisch ältere Daten vergisst und die RiskMetrics174 täglichen und monatlichen Zerfallsfaktoren identifiziert. Der exponentiell gewichtete gleitende Durchschnitt (EWMA) ist gegeben durch: Die obige Formel ist eine rekursive Vereinfachung der EWMA-Reihe 8220true8221, die gegeben ist durch: In der EWMA-Reihe ist jedes Gewicht, das den quadrierten Renditen zugeordnet ist, ein konstantes Verhältnis des vorhergehenden Gewichts. Insbesondere ist Lambda (l) das Verhältnis zwischen benachbarten Gewichten. Auf diese Weise werden ältere Daten systematisch diskontiert. Der systematische Rabatt kann schrittweise (langsam) oder abrupt, abhängig von Lambda. Wenn Lambda hoch ist (z. B. 0,99), dann ist die Diskontierung sehr allmählich. Wenn Lambda niedrig ist (beispielsweise 0,7), ist die Diskontierung schlagartiger. Die RiskMetrics TM Zerfallsfaktoren: 0,94 für tägliche Daten 0,97 für monatliche Daten (Monat definiert als 25 Handelstage) Erklären Sie, warum Prognosekorrelationen wichtiger sein können als die Prognose von Volatilitäten. Bei der Messung des Portfolio-Risikos können Korrelationen wichtiger sein als einzelne Instrumentenvolatilität / - varianz. Daher kann in Bezug auf das Portfolio-Risiko eine Korrelationsprognose wichtiger sein als einzelne Volatilitätsprognosen. Verwenden Sie GARCH (1, 1), um die Volatilität zu prognostizieren Die erwartete zukünftige Varianzrate in (t) Perioden vorwärts ist gegeben durch: Beispielsweise wird angenommen, dass eine aktuelle Volatilitätsschätzung (Periode n) durch die folgenden GARCH (1, ) Gleichung: In diesem Beispiel ist alpha das Gewicht (0,1), das der vorherigen quadratischen Rückkehr zugewiesen wurde (die vorherige Rückkehr war 4), beta das Gewicht (0,7), das der vorherigen Varianz (0,0016) zugewiesen wurde. Was ist die erwartete zukünftige Volatilität, in zehn Tagen (n 10) First, für die langfristige Varianz zu lösen. Es ist nicht 0,00008 dieser Begriff ist das Produkt aus der Varianz und seinem Gewicht. Da das Gewicht 0,2 (1 - 0,1 - 0,7) betragen muss, beträgt die Langlaufvarianz 0,0004. Zweitens brauchen wir die aktuelle Varianz (Periode n). Das ist fast schon für uns oben: Jetzt können wir die Formel anwenden, um für die erwartete zukünftige Varianzrate zu lösen: Dies ist die erwartete Varianzrate, so dass die erwartete Volatilität etwa 2,24 beträgt. Beachten Sie, wie dies funktioniert: die aktuelle Volatilität beträgt etwa 3,69 und die langfristige Volatilität ist 2. Die 10-Tage-Forward-Projektion 8220fades8221 die aktuelle Rate näher an die langfristige Rate. Nonparametric Volatility ForecastingWeight Moving Averages: Die Grundlagen Im Laufe der Jahre haben Techniker zwei Probleme mit dem einfachen gleitenden Durchschnitt gefunden. Das erste Problem liegt im Zeitrahmen des gleitenden Durchschnitts (MA). Die meisten technischen Analysten glauben, dass Preis-Aktion. Der Eröffnungs - oder Schlussaktienkurs, reicht nicht aus, um davon abhängen zu können, ob Kauf - oder Verkaufssignale der MAs-Crossover-Aktion richtig vorhergesagt werden. Zur Lösung dieses Problems weisen die Analysten den jüngsten Preisdaten nun mehr Gewicht zu, indem sie den exponentiell geglätteten gleitenden Durchschnitt (EMA) verwenden. (Erfahren Sie mehr bei der Exploration der exponentiell gewogenen gleitenden Durchschnitt.) Ein Beispiel Zum Beispiel, mit einem 10-Tage-MA, würde ein Analytiker den Schlusskurs des 10. Tag nehmen und multiplizieren Sie diese Zahl mit 10, der neunte Tag um neun, der achte Tag um acht und so weiter auf die erste der MA. Sobald die Summe bestimmt worden ist, würde der Analytiker dann die Zahl durch die Addition der Multiplikatoren dividieren. Wenn Sie die Multiplikatoren des 10-Tage-MA-Beispiels hinzufügen, ist die Zahl 55. Dieses Kennzeichen wird als linear gewichteter gleitender Durchschnitt bezeichnet. (Für verwandte Themen lesen Sie in Simple Moving Averages machen Trends Stand Out.) Viele Techniker sind fest Anhänger in der exponentiell geglättet gleitenden Durchschnitt (EMA). Dieser Indikator wurde auf so viele verschiedene Weisen erklärt, dass er Studenten und Investoren gleichermaßen verwirrt. Vielleicht die beste Erklärung kommt von John J. Murphys Technische Analyse der Finanzmärkte, (veröffentlicht von der New York Institute of Finance, 1999): Der exponentiell geglättete gleitende Durchschnitt behebt beide Probleme mit dem einfachen gleitenden Durchschnitt verbunden. Erstens weist der exponentiell geglättete Durchschnitt den neueren Daten ein größeres Gewicht zu. Daher ist es ein gewichteter gleitender Durchschnitt. Doch während es den vergangenen Preisdaten eine geringere Bedeutung zuweist, enthält es in seiner Berechnung alle Daten in der Lebensdauer des Instruments. Zusätzlich ist der Benutzer in der Lage, die Gewichtung anzupassen, um ein größeres oder geringeres Gewicht zu dem letzten Tagespreis zu ergeben, der zu einem Prozentsatz des vorherigen Tageswertes addiert wird. Die Summe der beiden Prozentwerte addiert sich zu 100. Beispielsweise könnte dem letzten Tagespreis ein Gewicht von 10 (.10) zugewiesen werden, das zum vorherigen Tagegewicht von 90 (.90) addiert wird. Das ergibt den letzten Tag 10 der Gesamtgewichtung. Dies wäre das Äquivalent zu einem 20-Tage-Durchschnitt, indem die letzten Tage Preis einen kleineren Wert von 5 (.05). Abbildung 1: Exponentiell geglättete gleitende Durchschnittswerte Die obige Grafik zeigt den Nasdaq Composite Index von der ersten Woche im Aug. 2000 bis zum 1. Juni 2001. Wie Sie deutlich sehen können, ist die EMA, die in diesem Fall die Schlusskursdaten über eine Neun-Tage-Zeitraum, hat endgültige Verkaufssignale am 8. September (gekennzeichnet durch einen schwarzen Pfeil nach unten). Dies war der Tag, an dem der Index unter dem Niveau von 4.000 unterbrach. Der zweite schwarze Pfeil zeigt ein anderes Bein, das die Techniker tatsächlich erwartet hatten. Der Nasdaq konnte nicht genug Volumen und Interesse von den Kleinanlegern erzeugen, um die 3.000 Marke zu brechen. Danach tauchte es wieder zu Boden, um 1619.58 am 4. April. Der Aufwärtstrend vom 12. April ist durch einen Pfeil markiert. Hier schloss der Index bei 1.961,46, und Techniker begannen zu sehen, institutionelle Fondsmanager ab, um einige Schnäppchen wie Cisco, Microsoft und einige der energiebezogenen Fragen abholen. (Lesen Sie unsere verwandten Artikel: Moving Average Umschläge: Raffinieren ein beliebtes Trading-Tool und Moving Average Bounce.)